通常的AdS\/cFt模型中，场论需要取大N极限。
考虑cFt中的一个single trace 算符， 它的k点函数满足 o(N2?k)o(N^{2-k}) ，因此取大N极限的话只有两点函数不为0。同时如果要想让single trace算符具有合理的大N极限， 我们可以定义一个减除过后的single trace算符
w=trw??trw?\\mathcal{w}=tr w-\\langle tr w\\rangle
此时因为在大N极限下只有两点函数会出现，因此算符构成了一个自由场论。
考虑所有互相之间具有非零的对易子的算符，可以组成代数 AL,0,AR,0\\mathcal{A}_{L,0}, \\mathcal{A}_{R,0}, 它是定义在边界上的 .根据对偶关系，有
AL,0=Al,0.AR,0=Ar,0\\mathcal{A}_{L,0}=\\mathcal{A}_{l,0}. \\mathcal{A}_{R,0}=A_{r,0}
因此边界上的single trace算符组成的代数等价于bulk中黑洞视界外的场论组成的代数。
那么这个代数属于哪种冯诺依曼代数呢？
通常对于一个热场二重态
|tFd?=∑ie?βEi\/2|Ei?L|Ei?R|tFd\\rangle=\\sum_{i}e^{-\\beta E_{i}\/2}|E_{i}\\rangle_{L}|E_{i}\\rangle_{R}
它可以全息的描述一个永恒黑洞，不过此时需要注意的是，形成这个tFd的参数 β\\beta 描述的是左侧或者右侧黑洞的温度，而在AdS时空中，存在霍金佩奇相变，因此温度需要大于hawking-page温度这个描述才是成立的。
t＞tpaget＞t_{page}
而在page温度以下，时空处于AdS真空态。对于真空态，大N极限可以良好的定义，因此通常可以认为代数在大N下满足von-Neumann I∞I_{\\infty} ，而当温度大于page温度之后，其大N极限不能被良好的定义，表现在能量，熵等都会发散。（实际上这个大N极限的定义问题，对于理解高维的引力ensemble对偶具有重要意义） 表现在代数上，意味着此时在大N极限下，von-Neumann代数会变成type III1\\mathrm{III_{1}} 的. 同时tFd态的希尔伯特空间不再左右可分，上面关于tFd态的写法不再成立。这一点可以通过全息也能看出，根据全息，我们可以在黑洞背景下构造hilbert空间，此时这个希尔伯特空间就是弯曲时空下量子场的希尔伯特空间，因此它必然是type III\\mathrm{III} 型的代数。
以上在取大N极限之后，演生出了一个type III1\\mathrm{III_{1}} 的von-Neumann代数。可以考虑是否可以将这个代数加入一些其他的元素，使其扩充为一个更大的代数。一个自然的想法是加入边界的哈密顿量，考虑减除后的哈密顿量
hR′=hR??hR?h_{R}'=h_{R}-\\langle h_{R}\\rangle
因为 ?hR′2?～N2\\langle h_{R}'^{2}\\rangle \\sim N^{2} , 这个哈密顿量依然没有大N极限。为了定义它在大N极限下表现良好，可以定义
U=1NhR′U=\\frac{1}{N}h_{R}' , 在大N下U不为0也不发散，因此具有良好的大N极限。而对于 V∈AR,0\\mathcal{V} \\in \\mathcal{A}_{R,0} ,有如下关系
[U,V]=1N[hR,V]=?iN?V?t[U,\\mathcal{V}]=\\frac{1}{N}[h_{R},\\mathcal{V}]=-\\frac{i}{N} \\frac{\\partial \\mathcal{V}}{\\partial t}
取 N→∞N \\to \\infty ,我们发现 [U,V]→0[U,\\mathcal{V}] \\to 0 , 因此U是 AR,0\\mathcal{A}_{R,0} 这个代数的center。并且因为U和其他算符都对易，不满足 AR,0\\mathcal{A}_{R,0} 中的元素要求，所以扩充后的代数结构为 AR=AR,0?AU\\mathcal{A}_{R}=\\mathcal{A}_{R,0} \\otimes \\mathcal{A}_{U} . 作用的空间为 htFd?L2(R)\\mathcal{h}_{tFd}\\otimes L^{2}(R) . 此时的代数依然是type III\\mathrm{III} 的，但是因为它具有了一个非平庸的center，因此不再是一个factor。 一个代数是factor的定义是它只有平庸（为常数）的center。
有趣的事情发生下 1\/N1\/N 阶，此时根据对易关系
[hR′\/N,a]=(?i\/N)?ta[h_{R}'\/N,a]=(-i\/N)\\partial_{t}a ，此时因为考虑 o(1\/N)o(1\/N) 的修正，所以哈密顿量不能简单的认同为U，而是也要考虑修正，好在此时的修正可以很容易的获得
1NhR′=U+1βNh^\\frac{1}{N}h_{R}'=U+\\frac{1}{\\beta N} \\hat{h}
其中 h^\\hat{h} 是modular hamiltonian， 它的定义如下
h^=∫SdΣνVμtμν\\hat{h}=\\int_{S} d\\Sigma^{u}V^{\\mu} t_{\\muu}
它具有简单的边界对偶，因此也可以作为边界上的算符。
因此考虑原来的算符集合，加入 U+h^\/βNU+\\hat{h}\/\\beta N 算符之后的修正，此时因为这个算符与原算符 AR,0\\mathcal{A}_{R,0} 不再对易，因此不会形成一个直积的结构, 实际上 U+h^\/βNU+\\hat{h}\/\\beta N 产生的是一个外自同态（outer automorphism) 的结构，所以实际上代数为 AR=Ar,0?AU+h^\/βN\\mathcal{A}_{R}=\\mathcal{A}_{r,0} \\rtimes \\mathcal{A}_{U+\\hat{h}\/\\beta N} .
外自同态(outer automorphism)的定义如下：
考虑一个 h\\mathcal{h} 上的算符t， 如果 ?a∈A,s∈R\\forall a \\in \\mathcal{A}, \\quad s \\in R , 都有
eitsae?itS∈Ae^{it s}a e^{-it S} \\in \\mathcal{A}
再考虑一个扩充的希尔伯特空间 h?L2(R)\\mathcal{h} \\otimes L^{2}(R) ,此时有一个更大的代数 A?R\\mathcal{A} \\rtimes R ，它的生成元为 a?1,eist?eisxa \\otimes 1, e^{is t}\\otimes e^{is x} 或者是 aeist?eisxae^{is t} \\otimes e^{is x}
当t属于 A\\mathcal{A} 的时候，生成的自同态叫做inner的，而当 tt 不属于 A\\mathcal{A} 的时候，生成的自同态是outer的。