Garden
V：宇宙V
L：可构造宇宙L
Ω：绝对无限（康托尔版本，并非本文版本）
w：超限数
k：大基数
0=1：矛盾
『花园』内含：
各种大基数的冯·诺依曼宇宙 V
＜万有公理宇宙（可构造任何公理，包含了宇宙V、Ultimate-L以及其它当前人类不可理解的集合论宇宙所组成的无数个集合论宇宙集群）
＜=anti-万有公理宇宙＜over-万有公理宇宙
＜...＜超视界拓扑网（其微不足道的分流上都存在无数个不同的数学体系集群[其中就有包括人类已知数学体系乃至over-mathematics、above-mathematics等更强的数学体系]，万有公理宇宙只是此无限延展结构上的一个有限局部，无数个互相嵌套的集合论多宇宙也只是网络的一角）
＜=anti-超视界拓扑网＜over-超视界拓扑网
＜超巨结构网络＜=anti-超巨网络＜over-超巨网络＜transcend-超巨网络
＜...＜嵌套阶层数作为集合量，形成新集合论体系（作品内不同集合论体系可有相对应的集合论宇宙）后得到的超巨结构
＜...＜将描述嵌套阶层的集合论系统作为单位，形成无数个集合论体系后得到的结构
＜...＜将以上递归操作的次数作为集合量，形成一种或无数种集合论系统后得到的结构
莫哲就是花园本身，莫哲就是花园的一切，莫哲创造了数学的一切。
（这些构造全部取自《花园系列》小说原文，这些构造也是莫哲创造的。）
————————————
?0（阿列夫0）就是第一个无限，代表所有自然数的集合。......
可比?0还要广泛的是什么? 仅仅是在后面加个1吗... 还是加2.... 不对，实际上无论你在无限后面加多少，它依然属于?0，依然属于第一个无限。只不过在数学上，无法一一对应在?0之后的自然数字，我们把它叫做超限序数w。（w也就是?0，这样写是为了描述?0后面的数。可这并不意味着w+2＞w+1，以此类推，它们只不过是顺序如此，而不是大小。）......
可在数轴上，即便是0到1间存在的实数也比自然数集要多。实数集是不可数集，莫哲在刚才才学会了这点，方程式教他如何通过康托尔对角线进行证明。只要将我们在（a，b）间的非自然数任意列举出来，数字是随意的：
n 0
r1 = 0....
r2 = 0.…
r3 = 0.…
r4 = 0.…
r5 = 0.…
r6= 0.…
r7= 0.…
………
试想一下，每一个对应一个自然数的实数就可以无限延续下去，从1到正无穷，自然数集上似乎有着用不完的数能和0与1之间的所有实数对应，自然，它们都是无限。但问题是，它们等价吗? 两种无限等价吗?
显然不是。
只要我们以斜角的角度分别在这些数中取出一个数字，就会组成另外一个实数。以上面列出的数字为例，就应该是0.………
接着，在每一个写出来的数字向前进一位。
就会变成0.……。
0.……这个实数便是一个全新的实数，属于实数部分未与自然数对应的那个数。而当我们把这个全新的数字放在r（n+1）的数之后，再进行一次对角线证明，便又会得到一个与原先完全不一样的全新实数。以此类推，这样会得到的是无穷无尽的新实数————越来越多无限之外的数。
莫哲理解到0到1之间也存在无限，属于实数的无限，一个比自然数集更大的无限，究其原理是因为它是属于自然数的幂集，而幂集的子集要远远大于且无法与自然数的原集一一对应。（幂集是保证任何集合的幂集均为集合。如p({a，b})={?，{a}，{b}，{a，b}}.p(·)称为幂集运算。）
?0的幂集是一个比?0要广阔的无限，而这种幂集可以无穷无尽的套下去，一个疯狂、绝对浩瀚的阶梯：
p{?0}。
p{p{?0}。
p{p{p{?0}}}。
p{p{p{p{?0}}}}。
p{p{p{p{p{?0}}}}}。
p{p{p{p{p{p{?0}}}}}}。
p{p{p{p{p{p{p{?0}}}}}}}。
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p{p{p{p{p{p{p{p{p{?0}}}}}}}}}。
p{p{p{p{p{p{p{p{p{p{?0}}}}}}}}}}。
…………
p{……………p{p{p{p{p{p{p{p{p{?0}}}}}}}}}……}
……………
……………
直至无限次幂。......
莫哲（人类）知道替代公理指的是在任一代数恒等式中，每一个字母符号只是一个泛指的变量，因而可用其它形式的字母或恒等的函数表达式(只要用这些表达式替换后等式两边均仍有意义)替换，替换后等式仍成立。......
w^2。
w^3。
w^4。
w^5。
w^6。
………
w^w。
我们还能永无止境的构造新的序数。
w^w^w^w。
w^w^w^w^w^w。
w^w^w^w^w^w^w^w。
w^w^w^w^w^w^w^w^w^w。
^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w。
........
就像之前定义w一样，将这些无尽的整合起来：?0自身的?0无限次的?0的无限次的?0的无限次的?0的无限次的....?0的无限次方，最终合成一个新的序数β。β代表的就是一个全新的序数，一个容纳和表示之前一切套娃形式的序数总和。......
β^2。
β^3。
β^4。
………
β^β。
β^β^β。
β^β^β^β^β^β。
…………
直到出现和w同样的效果，此刻我们用β（2）表示这个远远还要大于β的新序数，以此类推，之后还会出现β（3），β（4）....后一个都是前步骤的无限次方的无限次方...的无限次方的重复叠加。
在我们再次无数次重复到达以上步骤后，这些良性序数.... 乃至所有序形之后，便是一个新的高度。
最终，是超越先前一切的叠加。
算法说，我们爬完了塔的第一层。抵达了?1（阿列夫1），也得到了一个全新的基数。......
?1，?2，?3，?4，?5………?w……?w^w....?w^w^w...?w^w^w^w^w^w……?w^w^w^w^w^w^w^w^w...
——《核冬元年》
“怎么会，就像1和0之间依然可以放下无数个实数一样，那些实数间又可以放下同样数量的其他实数，这是没有边界的。把那些数变成可拓展宇宙的个数同样如此。”
——《26》
就像实数的无限＞自然数的无限，在一个数轴中，0到1之间的实数的个数就可以和数轴上所有的实数一一对应，哪怕它们自身就是实数的一部分。而同样奇妙的现象也出现在奇数和偶数上，起初谁又能想到，奇数与偶数个数的和，与奇数或者偶数的个数是一样多的。
梁学超觉得我们宇宙其实也是这样的：如果把宇宙的尺度和数量看成一个正向数轴，按照先前提出的概念，仅仅是0到1之间的实数无穷就已经超越了数轴上全体自然数的和（用康托尔对角线可以证明这个理论）。
——《分形图》
图灵机器用逼近递归上界的超级算力制造出了一批批全新的现实宇宙，又以同样的方式在这之上进而去拓展出w无穷次方的嵌套套娃模式，以及之上的各种不动点。图灵机用替代公理将那些新生宇宙的刷新速度不断地拓展开来，直到那些可计算函数的不动点越过了直谓序数的上界，也就是Γ序数级。......
人类面对的主要问题就像两个自然数之间的实数等于全体实数之和这样的反常识结论，单单用递归方式去构建的算力终究只能停留在小于递归上界的序数层面。
简单来说，无论是佛教中所谓的一花一世界一叶一菩提；还是古典哲学猜想中一个微观粒子里便包含着无数个不断无限分裂的宇宙的嵌套关系……这些终究只是在利用递归的图灵可计算函数罢了——无限的套娃模式确实是没有尽头的，但这种模式又确实存在一个序数级的上界，即被称为“邱奇克林序数”的可计算上界。任何递归算力机器都无法越过这个序数，就更别提远高于这个上界的其他超穷数了。
——《分形图》
游戏的定义是一种完全信息的无穷博弈。
规则是这样的：
存在两个玩家。首先定义一个任意集合x，任意A?x^w，博弈的G?(A)，然后如下应用；游戏在偶数轮中由玩家1选择x中元素，记作x?n，在奇数轮中由玩家2选择x中元素，记作x?n??，游戏即可进行。
游玩过程中，玩家1和玩家2会得到各自x的奇偶序数角标。随着次数越来越多，生成的无穷序列可以用一个表达式写出：x＝{x?}?＜w。这种表达式，他们将其称为一盘(play)。
同理，游戏的中盘(partial)可以被定义为x的有穷前段。如果最后结果x∈A，则玩家1胜利，反之，玩家2胜利。
如果了解这个游戏的技巧，会发现它的G?(A)策略可以通过一个t函数表示，这个函数被定义为x^＜w到x，对任意有穷前段partial的给定是s∈x^＜w。要是根据这个函数指示，玩家就可以知道下一步走的是t(s)。
他想，方法是这样的，首先给定一个策略t。把一个y序列定义为{Yn}n＜N≤w∈x^＜w。将t*y＝x的递归定义到x?n＝t(x|2n)，x?n?1＝yn；这样，当玩家2走出y序列的时候，玩家1即可走t策略对应所走成的中盘。而当且仅当y∈x^w，t*y∈A时，无论玩家2如何走，玩家1总能按照t对应的策略赢的该盘。
类似的，如果递归定义为x?n＝yn，x?n??＝t(x|2n+1)时，玩家1走出y序列，玩家2即可走t策略对应所走成的中盘，t就成为了玩家2的G?(A)赢策略了。
……
很聪明，但要实际在棋盘上要完成这个步骤需要的时间又是多少？这不是一个实数集的问题吗？
——《花园神只》
康托尔定理
1．基数：基数是描述集合大小概念的量，集合元素间能够一一对应的集合便是对等集合，比如4个人和4只猫；5只马和5条狗，他们的基数是相同。自然基数是无穷多个，个数为N0(w0）也就是阿列夫0，是数学中最小的无限。（因此，我们也可以得知其实无限并不是数，而是指的所有自然数的集合。)
2．序数、序形：不可达性是无限的基本性质，虽然可以被更小的超限数持有，但并不意味着任意两种无限的势是相同的；比如，实数的无限就要＞自然数的无限。以康托尔对角线证明可知（小说中有详细的证明过程），哪怕是0到1间的实数（这里只是单取无理数），全体自然数也远远无法和其一一对应。
而在康托尔集合中， lim n →∞(2\/3) An 的极限是0，它的个数却可以和实数个数相同，集合为 cn -1\/3 U (2\/3+ cn -1\/3)。（该结论可用十进制转化三进制再转化为二进制进行证明）同样的事情也出现在类似偶数和奇数或者偶数个数本身（没有任何变化）。这种违反直觉的结果表示，这前者和后者的数量是相同的。
于是问题出现了，在我们意识到80之后，自然数的基数也就没有了，没有基数的对应，我们就无法做之后的研究。为了继续延续w0之后的数而得到更大的基数，我们可以以w0+1、w0+2..．等等的形式表示，这些数被称为序数，它们的排列结构被称为序形（一般是为良性序形）。
值得注意的是，这并不意味着w0+2＞w0+1，序数无关大小，仅仅是排列如此。哪怕序数是w0w0，它依然不能说是＞w0+1的。
3．阿列夫序列、不可达基数：根据序数的出现，我们便可以去试图构造新的非自然基数，这些被构造的大基数是无法被实例化的，因此它们的对象不可能被现实的物理宇宙物质所持有，我们的数概念也更像是这些基数的映射。良性序形是一个构造更大基数构造过程回看小说），目的是为了解决w0w0w0w0.．这种无限制的构造问题。N1便是在我们构造无数次良性序列后宣称的最终结果，此外，整个阿列夫序列都满足以上步骤，且根据1、2点可知，它的不可达性必定被更小数持有（及正则超限基数序列中的更小数）。
这样无限的叠加最终的结论便是得到一个不可达基数0，一个更大的基数，也是我们目的想要得到的最小的大基数。也就是所谓的强弱不可达基数。
以上，如图一，在类似无限的步骤重复后，现代数学的无限结构便清晰可见。这种无限可能就是康托尔宣称的绝对无限，康托尔相信，这也就是绝对意义上的神或者上帝。这种无限庞大到可怕，甚至连公理和矛盾也包涵其中（详见图一）。而小说中，根据最终公式推理出的\花园\的概念便是基于在这个结构的基础上，宣称的一种绝对无限（乃至之卜）象征的超凡理念。
问题在于，根据康托尔定律，我们依然可以构造哦集合S的冥集，在一般情况下，无论这个大基数有多“大”，根据冥集公理，集合的所有子集构成的类事集合的冥集。p（x）永远都会大于x。
可现在，如果我们这样干的话，就会得到了一个矛盾了。因为你会发现，按照先前的定义，S也必须包含p（S)。
在数学上，这是一种“未完成”活着叫做“未构造”的结构，因为作为一切可能的基数中最大的。它所有的子类都是它的分子，子类的数目不会比分子的数目大。按照该思路，绝对无限（康托尔版本）便是可以包涵自己的冥集。也就是说p（Ω）依然是Ω的元素。
那么，再按照这种思路去理解『花园』就会非常清晰了。『花园』是无穷的、不可完成其冥集构造的绝对浩瀚。
单单是一个 S?就已经超过了所有阿列夫不动点的递归上确界次数了（阿列夫数无论用什么方式递归都无法达到S?，这样的数又被称为power admissible基数），无法想象这些就连无限基数都无法越过的power admissible基数一旦在博弈中出现嵌套循环，又会是何等恐怖的算力大战。
——《银之网》
power-admissible 基数
向上。
跨越不可达基数。
跨越强可展开基数。
可测基数。
强基数。
超强基数....
——《核冬元年》
“那就是，有人率先达到大基数级的算力，并从zfc公理系统上彻底封死后者。因为大基数超过了zfc公理的证明范畴，如果能将敌人彻底锁死在超穷数的范围，战争自然就结束了。”（ZFc公理集合论系统是一种常用的公理集合论系统，该系统包含了有10条非逻辑的集合论公理。）
——《银之网》
从不可达基数开始，便是超越阿列夫数列的大基数，不可达基数也是强弱不可达基数的统称。
而往上的则是各种扩展绝对无限的大基数（扩展并非是常规而言的大小，而更贴近宽域），比如弱紧致基数就是一种特殊的强不可达基数。
——《核冬元年》无限与花园
不单是方向，甚至是大小也是如此，因为超穷序数之上的大基数已经没有了人们常规概念和尺度意义上的衡量值。描述它的仅仅是一个严格的定义，很违背常识，但是却是事实。
他想，这样的情况有很多很多，就比如公理系统ZFc能证明存在任意大的基数，但ZFc不能证明不可达基数是协调的（强度），又或者，大基数一般是指的特定性质的不可达基数，它的协调性通常都是通过初等嵌入j：V→m的封闭性进行判断的。
在我们没法直观证明的抽象领域高层，数学逻辑宣称创造了更多令人难以想象的高阶无限构造：aleph超穷序数宇宙，弱不可达基数宇宙，不可达基数宇宙，强不可达基数宇宙，mahlo基数宇宙，强mahlo基数宇宙，0#→a# exists宇宙，woodin基数宇宙....各种大基数宇宙，一切已知集合的集合宇宙，永无止境的未完成构造的无幂集的绝对无限，一切可构造的n—巨大基数的集合与非其他类元素集合的真类宇宙，乃至之上种种.....那些高阶逻辑中不断嵌套的无限，是大基数本身抽象自身后的结果，其存在的本质远远超越了我们所谓认知的“物质”与“精神”范畴。
——《分形图》
比起Vw＝hK在ZFc中的地位，Vk＝h(k)（遗传有穷＜k的集合族)并Vk?h(k)的大基数公理则拥有更高的强度论证明，从而能完成更多的他证和自证。
——《花园神只》
概念，就像无限本不能至下而上的去突破的铁律。单单依靠序数的堆积怎么能突破无限基数的障壁？单单依靠迭代怎么能突破不可达基数的鸿沟？
——《杀死全人类》
好比哥德尔曾经在定义中写到的不可达基数那样，不可达基数实则是无法从更小的基数通过取幂集的基数或者是取极限得到。
——《花园神只》
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大基数