【世界基数】
定义：一个基数 k 是 worldly cardin al ，如果 Vk = ZFc .
我并不知道这个基数是谁提出的，这里只是做出一些解释。下面的结果应该都是已知的，但是我没有去找参考文献。我们用 wc 表示 workdly cardinal 。下面的命题是显然的。
命题1:ZFc+3 wch con ( ZFc + co n ( ZFc )).
由 Godel 不完备性， ZFc + con ( ZF c ）不能证明3wc．同样 con ( ZFc +3 wc )也不是 ZFc + con ( ZFc ）能证明的。
我们用 I 表示不可达基数。显然每一
个不可达基数都是 wc ，因此：
命题2:ZFc+3I3wc.
但是最小的 wc 严格小于最小的 l 。命题3：如果 k 是不可达的，则存在世界基数入＆ amp ; amp ; It ; k 。
证明：假定 k 不可达，有 Skolem 定理（及其构造方法），存在可数模型 mo ＜ Vk 以及n0 amp ; lt ; k 使得m0EVn0。一般地，对于任意 i , mi ＜ Vk 以及 ni
amp ; lt ; k 使得 miEVni ，存在模型 mi +1EVni+1使得 mi +1＜ Vk 并且 Vni cmi +1。
令入＝ Uini
amp ; lt ; k 。显然 Vi ( mi ＜ mi +1)。因而有模型论基本知识， U imi ＜ Vk 。有构造，我们知道 V 入＝ Uimi 。因此 V 入＜ Vk 从而是 ZFc 的模型。因而入是 wc
由命题3，我们有以下推论：
推论3.1:ZFc+3 II con ( ZFc +3 w
c ).
因此 wc 的协调性强度是严格弱于不可达基数的。由命题3的证明，我们可以推断最小的世界基数具有共尾性w。
还有人提及以下定义：
定义2：一个序数 a 是可扩的，如果存在 p
amp ; gt ; a 使得 Va ＜ Vb 。
我们用 Ec 表示可扩基数。显然命题
3中的入就是可扩的。并且可以构造在 k 下另外一个入' amp ; gt ；入使得 V 入＜ V 入'＜ Vk .@ ZS chen 在评论里提到了 Joel hamkins 给了关于可扩基数的比较完整的描述（ the otherwordly cardinals )。其中下面这个定理澄清了 Ec 的强度
定理1( hamkins ): EcS wc ，并且每一个 Ec 下面都有一个 wc 严格小于它．
注意虽然不可达基数的强度要严格高于存在 Ec 的协调性，但是 I Ec ．例如最小的不可达基数不属于 Ec。
【ZFc 公理宇宙】
1．不可达基数
可数，不可数，后继，极限，正则，奇异。
不可达基数就是指不可数正规的强极限基数，如果是不可数正规的极限基数，则称之为弱不可达基数。可数就是指小于等于阿列夫零的基数。反之不可数就是指大于阿列夫零的基数。后继，就是指比它小的基数中有最大值，极限就是指比它小的基数中没有最大值，强极限就是比它小的任意基数中，2的次方均小于它。正规就是到达它的最短长度等于本身，也就是若 k 是正则基数，则不存在小于 k 个小于 k 的集组之并的基数为 k ，或者说不存在小于 k 个严格递增的序列，其极限为 k 。奇异就是到达它的最短长度小于本身。对于基数 k ，存在小于 k 的严格递增的序列的极限为 k ,则 k 为奇异基数。正规和奇异基数引入了共尾度的概念，共尾度就是到达它的最短长度。后继序数的共尾度是1。正则基数就是 cf ( k )= k ，奇异基数就是 cf ( k ) amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k .
不可达基数 k 就是对任意小于 k 的基数，取幂集的基数仍然小于 k 并且由任意小于 k 个小于 k 的集组之并的基数仍然小于 k 。而对比弱不可达基数只要满足＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 的任意基数的后继仍然＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ; k 就行。而具有以上相同性质的可数基数就是阿列夫零。
举个例子： cf (1)=1, cf （任意有限数）=1, cf ( w )= w , cf ( w _1)= w _1（不存在长度是 w 的序列，因为小于 w _1的基数是可数的，但可数个可数集之并（也就是它们的上确界）可数，不可能是 w _1)。 cf ( w _ w )= w （长度 w 的序列取 w , w _1, w _
2,w3,......)。
对于极限序数，有 cf ( a )= cf ( w _ a ),所以对于不可达基数 k , k = w _ k ，但是，这样的奇异不动点非常多。比如说 a 是任意的基数，然后设序数列 w _ a , w _( w _ a ),.....．设 k 是它们的确界，很显然容易证明 k = w _ k ，但是很遗憾，这基数仍然还是奇异基数，并且它的共尾度是 w 。
好了。以下基数的性质。
0，可数，正规，强极限。1，可数，正规，后继。2，可数，非正规，后继。 w ，可数，正规，强极限。 w _
1，不可数，正规，后继。 w _2，不可数，正规，后继。 w _ w ，不可数，非正规，极限。 w _( w +1)，不可数，正规，后继。 w _( w _1)，不可数，非正规，极限。阿列夫不动点，不可数，非正规，极限。
很显然，用替代公理模式获取的基数，三个条件都不能同时满足，所以都不是不可达基数。不过，在大于 w 的基数中，正规极限的基数则就是不可达基数。也可以说，从阿列夫零到不可达基数其概念意义上的距离，跟从0到阿列夫零是一样的。
有了替代公理模式，你可以构造类似 omega - fixed - point ={ xEwlf (0)= w , f ( x )= w _ f ( x -1)｝的集合，通过更大的 f 就能获取更大的基数。但是，很显然，由替代公理所迭代获取出来的基数，全部都是奇异基数，其 xE 的那个数就是它的共尾度或者是共尾度比这个数还小，哪怕再大，均不符合 cf ( k )= k 的条件。因此不可能抵达不可达基数。
不可达基数本身也是阿列夫数，同时也都是不可达的阿列夫不动点，贝斯不动点，极限基数（因为对于后继基数阿列夫（ a +1) amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;=2^阿列夫 a ，不符合强极限的定义）。同时不存在一个（ xE ( amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k ) lf ( x ) amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k )的集合，使得其上确界为 k 。
还可以更抽象的理解不可达基数，假如连续统假设成立。则2^阿列夫零＝阿列夫一，2^阿列夫一＝阿列夫二．.....你可以这样迭代下去，你能得到阿列夫（阿列夫（阿列夫一）)，阿列夫（阿列夫（阿列夫（阿列夫．.....)))，你所想象到的迭代，无论是多么的变态，你都不可能迭代出不可达基数。因为不可达基数是正则基数，不可能从下至上抵达它。举个例子，有限的数，它们经过任意有限次迭代，都不可能到达无穷大，只能用∞这个符号表示，同样，∞（指小基数）,哪怕它们经过任意8次迭代，也不可能到达不可达基数。
你取到 k 之后，那么 k 和2^ k 都是正则的大基数，继续对 k 替代公理模式以及对 k 取幂集，仍然不可达的就是第二个不可达基数。
2．马洛基数
一个无穷基数 k 是马洛基数（ mahlo cardinal ）当且仅当 k 是一个不可达基数并且是“正则基数”。
{ A
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是正则基数｝是 k 上的平稳集［1]。如果 k 是马洛基数，则是“不可达基数”。
{1 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是不可达基数｝是 k 上的平稳集，因此 k 是第 k 个不可达基数。
为了得到以上结论，我们来证明如果 K 是任何不可达基数，则是“强极限基数”
c :={\\ amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是强极限基数｝是 k 上的无界闭集。先来证明闭性：
假设基数入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ; k 是 c 的极限点，即入＝ sup ( c n入），则对任何μ amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ；入有强极限基数 yEcN 入使得μ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y ，从而2μ amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; lt ; y
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;入，从而入是一个强极限基数，故入 Ec ,从而 c 是闭的。
无界性：任取序数 a
amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; lt ; k ，因为 k 的强极限性质，可以做以下基数序列（ yn
amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; klnEw ):
a
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt :y0, y 1=2y0,..., yn +1=2yn,...
并取 y = supnEwyn ，因为 k
a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; gt ; w 是正则的，所以 y
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 而且显然 a
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y 。可以证明 v 是强极限的：任取μ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; y ，则按照定义存在 nEw 使得μ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; yn ，从而2μs2y n = yn +1 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y ，于是 yEc 。这样 c 就是无界的。
现假设 k 是马洛基数，则是不可达基数，而且是正则的。
x :={\\ amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是正则的｝是 k 上的平稳集。按照定义， xNc 也将是 k 上的平稳集，而为“不可达基数”。
xNc ={\\ amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入为不可达基数｝。因为 k 上的平稳集总是在 k 中无界，故 xNc 的基数也将是 k ，也即 k 是第 k 个不可达基数。
为了进一步考察马洛基数，我们再来证明以下两个命题：
命题1：如果是第一个不可达基数
K = min （入入是第入个不可达基数｝，则 k 不是马洛基数。
命题2:如果 k 是马洛基数，则集合第入个不可达基数是｛入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是第入个不可达基数｝在 k 中无界。
先证明命题1：按照定义，任何小于 k 的不可达基数 y 都是第 a
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; y 个不可达基数。现在定义是不可达基数：
x :={ y
amp ; amp ; amp ; amp ; a
mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kly 是不可达基数｝上的函数 f : x →→ k 使得 f ( y )= a ，其中 a
amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y ，且 y 是第 a 个不可达基数。从而 f 是 x 上的退缩函数。如果 k 是马洛基数，按照上一个证明， x 将成为 k 上的平稳集。按照福道尔定理，将存在一个 k 上的平稳集 Scx 和某个 b 使得任何 yES 有 f ( y )= b ，即任何 yES 是第 b 个不可达基数。但我们知道第 b 个不可达基数只有一个，这与 S 是平稳集矛盾。
命题2:假设是第入个不可达基数：
t :={\\ amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是第入个不可达基数｝在 k 中有界，即 su pt
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 。令 a = su pt ，则集合 c ={ b
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k |β amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; gt ; a ｝是 k 上的无界闭集。因为 k 是马洛基数，所以
是不可达基数。
x ={\\ amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是不可达基数｝是 k 上的平稳集，按定义 xNc 也是 k 上的平稳集。而 xNc 是 k 中所有大于 a 的不可达基数的集合。而且每个不可达基数 yExNc , y 不可能是第 v 个不可达基数，从而 v 只可能是第 E
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y 个不可达基数。重复命题1的证明，在平稳集 xNc 上建立一个退缩函数，利用福道尔定理便可引出矛盾。
3不可描述基数
不可描述基数是对 V 的不可描述性（表现为反射原理）的深入刻画，即将 V 具有的不可描述性移植到作为集合的 Vk 上。对于作为大全的 V 我们不是很方便谈论，但 Vk 可以。称 k （实际也是 V K ）是∑ nm ﹣可描述的，在于存在一则∑ n m ﹣命题中，使得 p 仅在 Vk 中为真，即不存在 a
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k ，使得中也会在 Va 中为真。换言之，满足中这一描述的仅为 Vk ，中是 Vk 独有的描述，故构成对 Vk 的本质描述。反之，称 k 是∑ nm ﹣不可描述的，在于对任意∑ n m ﹣命题中， Vk 满足中就意味着存在 a
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k , Va 也满足中，所以仅仅是满足申并不意味着是在描述 Vk 。而\ k 是∑ nm ﹣不可描述的\或\ K 是 Nnm ﹣不可描述的\是则∑ n +1m﹣命题或 Nn +1m﹣命题，你的想法是对的，只是\ k 是一阶不可描述\这点需要用二阶语句来描述，这样的二阶命题我们可以写出来，但一阶不行，并且如果存在这样的一阶命题，那么就如你所想的那样必然导致矛盾，这就意味着该语言是内在不一致的。所以，\任意命题都无法描述\不会是一个自洽的语言可以写出来的句子。
4．弱紧致基数
对于一阶逻辑语言的扩张 L 入 u ，即对任意 a
amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入，允许语句的 a 次合取^ E
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; lt ; apa 和或取 VE
amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; lt ; a ゆ a 仍作为一个语句；以及对任意 b
amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt : u ,允许语句中出现 b 次存在量词＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; bxE 和全称量词 VE
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; bxE ；若 Lkk 的字母表仅含有 k 个非逻辑符号，并且 Lkk 的子集（语句集） t 存在模型（一致）当且仅当 t 的每个基数＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; lt ; k 的子集∑都存在模型（一致），则称 k 是弱紧致基数。
对于不可数的弱紧致基数 k 可以证明：
k 是正则基数
假设 k 是奇异基数，取 k 的无界子集 x 有| x | amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k ，在字母表中添加常元符号（ ca : a
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; It ; k } U { c }
定义语句集 t ={ c ≠ ca : a
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; k } U { VAExVa
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ; Ac = ca }
其中 V 入 ExVa
amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; lt ；入 c = ca 是由 x |个形如 Va
am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; It ；入 c = ca 的语句或取而成的，由于| x | amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; K ，这是一个合法语句但却遍历了每个 c a ，或取命题的成立只需要其中一项为真即可，对于 t 基数＆ amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 的含该语句的子集∑，其中都只会含有个 c ≠ ca ，由 x 在 k 中无界，必然存在国＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y , Va
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; yc = ca 就可为真与其余语句一致，但必与 t 的其余语句矛盾。
2.k是极限基数
假设 k 是后继基数，则存在入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; lt ; k ，使得2入≥ K 。
在字母表中添加常元符号｛ ca : a
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入｝ U {da0:a amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; t ;?} U {da1:a amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; lt ;)}
并定义语句集
t ={^ d
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ；入[( ca =da0Vca=da0)Ada0≠da1]} U { pf :fE21}
其中∧ a
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; x [( ca =da0Vca=da0) A da0≠da1］可以直观理解为定义了一个2入中的01序列 f *，中 f 则是使用 f 定义的形如 Va
a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ;\\ ca * daf ( a ）的语句，其为真就意味着必有一项 ca 不同于 f 在 a 处的得值，即 f *≠ f 。显然， t 是不一致的。但对于 t 的基数＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; lt ; k 的子集∑，由于区＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; k
amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ; ItI ，从而总能存在gE2入但中 g ≠∑,令 f *= g 即可满足
3.k是巨大马洛基数
已知 k 是不可达基数，故| Vkl = k ，对任一 UcVk ，扩充语言 Lkku ，其中含有谓词符号 u ( x ）被解释为 U ，再在其字母表中添加常元符号 c ，定义语句集 t ={ p ELKKu :( VK , E , U )=ф} U {ф a ( x ) Ax
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; c : o
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; k }，其中中 a ( x ）是对序数 a 的定义，即对任意 a
amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 均有（ Vk , E )=ゆ a ( a )。由于 t基数＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 的子集∑都以（ Vk , E , U ）为模型，故 t 也存在模型（ m , E , U *)。由于（ Vk , E )=-3 n
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; wxn ( xn +1 Exn ), E 是 m 上的良基关系，由坍塌定理可得（ m , E , U *）又由于 Vk 的每个元素均可定义，{ oELkku :( Vk , E , U )= o ｝作为一个完备理论被（ m , E , U *）满足，就存在（ Vk , E , U ）到（ m , E , U *)的初等嵌入使得（ VK , E , U ）是（ m , E , U *）的初等子模型。
设 U 为无界闭集，由于 UcU *，根据定义 sup ( UN k )= K 可得 KEU *，而（ m , E , U *)= u ( k ）蕴含（ m , E , U *)=3xф(x)л u (x)( V k,e, U )=3xф(x)л u ( x )，其中中（ x ）为一可由某一（ m , E , U *)见证的 k 所具有的性质。
4.k是门11﹣不可描述基数
由3．可知对任﹣ UcVk ，均存在初等嵌入使得（ Vk , E , U ）是（ m , E , U *)的初等子模型，扩充语言 Lkku 中的语句等价于以 U 为参数的语句，而 Vk 上的N11语句等价于 Vk +1上的N10语句，形如 VxEVK +1p( x ) Vk ，其中 p ( x ) Vk 是量词辖域为 Vk 的一阶语句，其成立取决于 Vk 和 U 中是否存在这样或那样的元素，由于 Vkcm , Vk = Vkm ,, p ( x ) VK ( m , E , U *)= o ( x ) Vk 。又由于 Vk +
1mcVk+1，假设 VxEVk +1p( x ) Vk 但( m , E , U *)=- VxEVk +1p( x ) Vk 即（ m , E , U *)=3xEVk+1- p ( x ) Vk 就与假设矛盾。故对于 Vk 上的N11语句中中 m ，并且若（ Vk , E , U )＝中则（ m , E , U *）满足存在 a ,( Va , E , VaNU *)=中，( Vk , E , U ）就也满足存在 a ,( V a , E , VaNU *)=ф.
5．可测基数
问题：一个不可数基数 k 是可测基数（ measurable cardinal ）当且仅当 k 上存在 k ﹣完全的非主超滤。证明任何可测基数都是不可达基数（ inaccessible c ardinal )，即，都是正则且强极限的。
首先证明正则性。若 k 是奇异的，即 cf ( k ) amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 。则可以取一个 k 的递增的共尾序列（ ay
amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kly
amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ))，使
supy
amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ) ay = Uy
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ) a y = K
取 k 上的一个 k ﹣完全的非主超滤 U ，则 U 是均匀超滤，从而每个 ayEU ,即 k - ayEU ，于是：
Udny
amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k )( k - ay )= k - Uy
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ) ay =0
这与 U 的滤子的定义产生了矛盾。再来证明强极限。也即证明任何入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k ，有2入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp; amp ; amp ; amp ; lt ; k 。现用反证法，反设存在某个入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 使得2入 zk 。那么可以取2入＝{ flf ：入→＞2｝的一个子集 S 使得| SI = K 。并且按题意可以取 S 上的一个 k ﹣完全的非主超滤 U 。现在对于每个 a
a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;入，如果 oa :={ fES | f ( a )=0} EU ，则令 x a = oa , ca =0；否则，我们有 la :={ fES f ( a )=1} EU ，这时我们令 xa = la ，且 sa =1。现在，我们定义了 U 上的一个长度为入的序列＜ xaEUla
amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入＞，因为 U 是 k ﹣完全的，所以 Na
amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;\\ xaEU ，但是，我们可以证明n a
amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入 xa 中最多只有一个元素，因为任何 fENa
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;) xa ，都有 f ( a )= ea , Va
amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入。这样n a
amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ；入 xa ∈ U ，这就引出了一对矛盾。
后话：看到有人不太理解强极限的证明。其实我们的目的很简单，就是希望对每个 a
amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ；入，定义一个集合 xaE U ，和一个数 eaE {0,1}。而它们的值究竟什么，则取于｛ fES | f ( a )=0｝和｛ f ∈ s | f ( a )=1｝哪一个属于 U ，如果前者属于 U ，则定义 xa ={ fES | f ( a )=0}，且 ea =0；如果后者属于 U ，则定义 xa ={ fES f ( a )=1}，且 sa =1。因为 U 是超滤，可知这种定义是合理的。
强紧致基数
当且仅当每个 k ﹣完全滤波器都可以扩展为 k ﹣完全超滤器时，基数 k 是强紧凑的。
强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数 k 的逻辑是通过要求每个运算符的操作数量小于 k 来定义的；那么 k 是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于 k 的某个子集合中得出。
强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与 ZFc 一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。
强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。
可扩展性是强紧凑性的二阶类比。
强可展开基数
形式上，基数 k 是入不可折叠的，当且仅当对于 ZFc 负幂集的每个基数 k 的传递模型 m ，使得 k 在 m 中并且 m 包含其所有长度小于 k 的序列，有一个将 m 的非平凡初等嵌入 j 到传递模型中，其中 j 的临一个基数是可展开的当且仅当它对于所有序数入都是入可展开的。
基数 K 是强入不可折叠的，当且仅当对于 ZFc 负幂集的每个基数 k 的传递模型 m 使得 K 在 m 中并且 m 包含其所有长度小于 k 的序列，有一个非﹣将 m 的 j 简单基本嵌入到传递模型\ N \中，其中 j 的临界点为 k , j ( k )≥入，并且 V （入）是 N 的子集。不失一般性，我们也可以要求 N 包含其所有长度为入的序列。