虽说数学悖论大多是一些让人越想越糊涂的逻辑思维游戏，但也有不少悖论来自于实实在在的数学问题。在缺乏现代数学工具的年代，这些反直觉的结论和看似不可调和的矛盾让数学家们百思不得其解，那些最难解决的悖论甚至为数学新分支的开创带来了足够的动机。不太为人熟知的 cramer 悖论就是一个漂亮的例子。
在描述 cramer 悖论之前，让我们先来考虑一个简单的情况。
两条直线交于一点。
反过来，过一点可以做两条不同的直线。
事实上，过一点可以做无数条直线。
确定一条直线需要两个点才够。
一切都很正常。
现在，考虑平面上的两条三次曲线。
由于将两个二元三次方程联立求解，最多可以得到 9 组不同的解，因此两条三次曲线最多有 9 个交点。另外，三次曲线的一般形式为
x^3 + a·x^2·y + b·x·y^2 + c·y^3 + d·x^2 + e·x·y + f·y^2 + g·x + h·y + i = 0
这里面一共有 9 个未知系数。
代入曲线上的 9 组不同的(x， y)，我们就能得出 9 个方程，解出这 9 个未知系数，恢复出这个三次曲线的原貌。
也就是说，平面上的 9 个点唯一地确定了一个三次曲线。
这次貌似就出问题了：“两条三次曲线交于 9 个点”和 “ 9 个点唯一地确定一条三次曲线”怎么可能同时成立呢？
既然这 9 个点是两条三次曲线所共有的，那它们究竟会“唯一地”确定出哪条曲线呢？
在没有线性代数的年代，这是一个令人匪夷所思的问题。
cramer 和 Euler 是同一时代的两位大数学家。
他们曾就代数曲线问题有过不少信件交流。
上面这个问题就是 1744 年 9 月 30 日 cramer 在给 Euler 的信中提出来的。
在信中， cramer 摆出了两个稍作思考便能看出显然成立的事实：一条三次曲线能用 9 个点唯一地确定下来，两条三次曲线可能产生出 9 个交点。
cramer 向 Euler 提出了自己的疑问：这两个结论怎么可能同时成立呢？
Euler 心中的疑问不比 cramer 的少。
接下来的几年里，他都在寻找这个矛盾产生的源头。