二次互反律可以推广到更高次的情况，如三次互反律等等。
高斯认为在自然数范围内不能推出高次互反律，需要对数域进行扩张。
高斯找引入了复素数的概念，就是在自然数里是素数的，在复数里不简单是素数，比如：5是自然数里的素数，但是在复数里是5=（1+2i）（1-2i），所以5是合数。但3不能这样分解，所以3是复素数。
代数基本定理是每一个整数均可分解为素数的乘积，而且是唯一的，这被欧几里得证明。高斯把它推广到复数域，也是成立的。
高斯最终找到了形如4n+1的素数是复素数的情形，这些素数可以分解为复的因数。
引入了复素数的概念，四次互反律也变得简洁。
艾森斯坦和雅克比证明了这一点，有优先权之争。
雅克比和艾森斯坦都发现了三次互反律。
但需要在本原3次根中去考虑的整环。
所以高次互反律需要考虑告次根的整环才行。