就凭开创类域论这一项成就，高木贞治就足以站在这个位置。
类域论是现代数论的中心，研究数域上阿贝尔扩张的理论，如今已经渗透到数学各个分支，构造类域的世纪难题，依然是当今数学的最重要的中心之一。
高木贞治是日本现代数学最重要的开创者和祖师爷，早年游学德国，回日本后培育了整整一代的日本数学家！可以说，高木贞治大师是现代日本数学的真正意义上的开创者。
高木贞治的伟大成就，经他教育传承下，奠定了日本代数，数论学派的深厚传统，时至今日，日本仍然是世界抽象代数、代数数论研究的重镇。
高木贞治知道阿贝尔的扩张论，对伽罗瓦解释数域的扩张，和高次方程无解的理论都有很大的帮助。
阿贝尔扩张是一类重要的域扩张，设K是域F的伽罗瓦扩域，若其伽罗瓦群G(K\/F)为一阿贝尔群，则称此扩张为阿贝尔扩张，此时，K称为F上阿贝尔扩域。
但高木贞治认为，属于的扩张可以已经基本的算数运算，在算数运算的扩张可以看看数字可以饱满到什么程度。
高木贞治对小平邦彦说：“人类是怎么定义数字的？会不会不讲究啊！”
小平邦彦说：“你指的是自然数？那皮亚诺公理不是从新定义了吗？规范了呀。”
高木贞治说：“只能说自然数或者是整数还勉强的符合群论或者环论的一些东西，其他的小数、无理数、超越数恐怕就难以用群、环、或者交换环或者是伽罗瓦的扩张来得到了，来自人的灵性而已吗？”
小平邦彦说：“发现如此之多的数学工具，不就是为了重新规范这些已经存在的有用的各种数字嘛，这点类也受不起？”
高木贞治说：“如果是1用皮亚若公里扩展到自然数，在加个加法交换性得到负数，乘法交换性和商群得到小数，然后加个i扩展到复数。但来个非交换的矩阵，说实话，不太能吃得消。你说一下，你顶得住非交换的东西嘛？”
小平邦彦说：“但数学中普遍存在呀！”
高木贞治说：“任何一个人都不喜欢不对称的，也不喜欢非交换的，所谓此刻的非交换，也只是为了下一次的巨大的交换做准备的，所以任何一种域，都可以用阿贝尔扩张出来。”
小平邦彦说：“胡说，你喝多了吧！”
高木贞治说：“非但没有，我还要跟你死磕到底，咱们要来个这个世界上有没有非交换的东西来掰扯一下。”
小平邦彦说：“有非交换的，很多矩阵就是。”
高木贞治说：“幼稚，那些矩阵我可以还原出一些原型，改造成可以交换的易如反掌。”高木贞治开始写出了一个矩阵，然后再周围加了一圈零。对小平邦彦说：“你看看，这不就改造成交换的了吗？”
小平邦彦说：“你加了0，那就不是原来的矩阵了。”
高木贞治解释道：“谁说的？你眼里就是什么2乘2阶，3乘3阶矩阵。那是你每看透，都是无穷阶的，其中只有2乘2阶，3乘3阶有非零的数字，其他都是0而已，每个矩阵阶数相等，都是无穷乘无穷阶的。”
小平邦彦说：“你太突破传统了，我不太能接受你那个所谓的简写0的矩阵这个说法，即使你耍赖，我还能找到很多的非交换的东西。”
高木贞治笑说：“一样的，即使是操作模仿，我也能把模仿弄成个其他东西，即使旋转三角形那些，也是一样，我都可以给你变变。最终你发现，你找不到非交换的东西。”
小平邦彦说：“照你这么说，数学都是交换的，岂不是更容易统一了？大喜事呀！”