【设E,F是两个Banach空间,令A:D(A)′E→F为一个闭算子,且D(A)′=E。求证:D(A′)′σ(F′,F)=F′D(A′)σ(F′,F)=F′。其中A′是A的伴随算子,F′是F的对偶空间,σ(F′,F)为F′上的弱*拓扑,D(A′)′σ(F′,F)表示D(A′)在弱拓扑σ(F′,F)下的闭包。】叶秋走上讲台,看着黑板上已经写好的例题。“怎么样,能解不?”秃顶老师似笑非笑地看着叶秋。“问题不大!”叶秋沉吟一会儿,便直接唰唰唰写了起来;【解:设F是E的子向量空间满足F′≠E.则存在f∈E'不为0,使得(f,x)=0,x∈F……】教室里忽然安静了下来,所有人都紧盯着黑板。慢慢地,议论声渐起。“我去,他还真会解!”“现在的高中生都这么夸张了嘛?”“麻蛋,泛函分析我都还没搞明白呢?这家伙竟然学会了。”“话说高中时期竞赛班的学生好像也没那么厉害吧!”“这家伙该不会真有能耐一小时不到就解完冬令营考试的三道大题吧……”……教室里响起一阵嗡嗡声。不少原本质疑叶秋的人,一个个脸上也流露出了凝重之色。要知道,泛函分析属于数学系的专业基础必修课,主要研究无穷维函数空间的数学分析,一般要到大三才能学到。在学习这门课之前,你首先得掌握《高等代数》《数学分析》《实变函数》《集论拓扑》《复变函数》《实分析》《常微分方程》《偏微分方程》等课程。问题是,这些课程都只有大学才有,至少要花两年以上的时间才能掌握。而讲台上这个年轻人,不过是一名高中生。高中时代,语文数学英语物理化学生物都学不过来了,他哪来的时间,哪来的精力掌握这些知识?这些人自然不知道,过去两个多月,叶秋除了抽出一小部分精力复习五大学科竞赛之外,剩下的时间,全部放在了大部头的《数学原理》上面。他非但将布尔巴基学派的《数学原理》全部看了一遍,而且还在进一步深入反刍研究。别说本科阶段学习的线性泛函分析了,即使研究生阶段才能学到的非线性泛函分析,对他而言也没什么难度。唰唰唰——叶秋在黑板上轻松写完最后一行字,笑着对秃顶老师道:“老师,解完了!”秃顶老师若有所思地看着叶秋:“泛函分析的知识你都掌握了?”“差不多全都掌握了!”叶秋微微一笑,淡定道。“那你能说一说自己对这门课程的理解吗?”秃顶老师眼睛冒光。如果叶秋没有吹牛,真的高中阶段就学完了泛函分析的内容,那毫无疑问是一名数学天才。到时候就算在数学奥林匹克冬令营里面表现一般,自己也可以强烈建议学校录取他!
叶秋微微一愣,说道:“行吧,那我就讲一讲!”“众所周知,泛函分析这门学科诞生于20世纪的初期,本身是数学发展中公理化的一个结果。也就说,数学家希望实现分析学的公理化。同样的公理化运动也出现在几何和代数上。现在的泛函分析已经变成一个庞然巨兽了,特别是把它和调和分析放在一起的时候,很难分清楚什么叫做调和分析,什么叫做泛函分析。不过我接下来要讲的不是为了搞清楚它的定义,而是关注它的基础和未来的发展趋势。”“我们首先讨论一些早期的抽象分析,尤其是数学家如何将一个特殊的例子扩大化,使之成为一般意义上的定理。我们的讨论主要涵盖以下内容。一、弗雷德霍姆,希尔伯特关于积分方程的工作;二、Volterra和Hadaard关于动量问题的研究;三、Lebesgue,Frechet和Riesz在抽象空间上的工作以及最后,Hahn和Banach关于对偶这个概念的研究……”叶秋的语气不疾不徐,却吸引了所有人的目光。一旁的秃顶老师眼睛也不由得开始瞪圆。正常讲述一门课的时候,通常从基础开始,然后慢慢扩展并深入挖掘。但叶秋的讲课方法完全不一样,他是从泛函分析的发展史开始讲解,结合数学史的一些知识,然后再慢慢深入。这种讲解方法,无疑对学生更有吸引了。而且最关键的是,叶秋在讲解的时候,往往从最本质的一些东西出发,即使一些相当抽象的概念,他也能轻易将其转化成同学们更容易理解的概念。甚至连秃顶老师自己,也渐渐被叶秋的讲课给吸引住了。教室里渐渐安静了下来,只留下叶秋的声音在空中回荡。“弗雷德霍姆和希尔伯特关于积分方程的工作,我们可以从以下两个具体事例开始。最早的积分方程来源傅立叶研究热问题。1822年,傅立叶讨论了如果去逆向解如下的方程:f(x)=∫Re^itxg(t)dt,也就是已知f,怎么求出g。现代的语言中,这其实就是求傅立叶变换的逆变换……”“其次,就是Liouville在研究二阶常微分方程的时候发现它们等价于一类积分方程。比如,方程的解f“(x)g(x)=f(x)。如果满足边界条件f(a)=1,f'(a)=0利用这个方程的基本解可以证明方程的解满足……”……铃铃铃——不知何时,下课铃声响了起来。叶秋放下粉笔,微笑道:“时间差不多了,这是我本人关于泛函分析的理解,老师,您还有什么问题吗?”秃顶老师这才回过神来,他深深地看了叶秋一眼,并没有直接回答叶秋,而是转向