μ（k）=1；k作为自身的子集当然是属于大的一类了。对任意x∈k，μ（{x}）=0；作为k的元素，该元素的集合当然也是k的子集，但这种子集连等势都不等上，当然是属于小的一类了。对任意x?Y，μ（x）≤μ（Y）；显而易见，x作为Y的子集，Y的值不可能会小于x，最多大家一样。
对任意两两不相交的子集族{xi|i∈w}，其并的测度（μ（u{xi|i∈w}））等于其分别测度之和；显然，1+1=2，而μ只能显示1和0，所以明摆着是说k中任意两两不相交的子集族都是战0渣。是不是很简单？动脑想下不难发现，阿列夫零上就具有这样的测度，对于具有这种测度的基数我们称之为可测基数。
而不可数的可测基数，则打破了可构造公理的神话，不为来自现象学的辩护支持，亦不被形而上的绝对无穷涵盖，是大基数中的一道里程碑，大大基数的分水岭，现代数理逻辑真正关注的大基数由此开始。可以说，上述的那些极大性之于可测基数都微不足道。但其实光有二值测度的确不够直观，还是需要加下非主超滤配合来看的。这里有张图会比较直观地展现：
那么定义k上的滤子U是一个超滤子，当且仅当对任意S?k，要么S∈U，要么S的补集∈U。直观上，属于U的集合是大的集合，自然地，补集为大的集合的集合就是小的集合。可以说超滤子将k的所有子集划分为大的和小的，而称U是主超滤子，当且仅当存在x∈k使得U={S?k|x∈S}。此外，称U是k-完全的，当且仅当＜k个大的集合的交集仍然是大的。因此，如果称一不可数基数是可测基数，那么当且仅当存在k上的＜k-完全非主超滤子。
“（完蛋，我就知道扯到后面肯定会有一堆我看不懂的符号，看来我也就小学生水平了么？）”尹浩感觉自己内心的吐槽，就像是一堆混乱代码中前一任码农留下的劝退注释。
那么如何理解不可达基数？递归的定义超穷基数：令?0=w，?a+为oN中所有基数大于?a的a之交，也就是基数比?a大的所有序数中最小的序数。不难看出，对于任意序数均可定义一个超穷基数，而所有超穷基数的类是oN的子类，尽管它俩的长度一样长。
也甭管阿列夫一是怎么大于阿列夫零了，反正存在大于阿列夫零的基数然后我们管其中最小的那个叫阿列夫一，第二个叫阿列夫二。现在我们已经知道每个基数都是序数，假设k是一个基数而a是一个序数，如果存在函数f:a→k，使得a在f下的像在k中无界，就称f是a到k的共尾映射，也称a是k的共尾数，特别地，k最小的共尾数记为cf(k)。
所谓的无界即对于任意小于k的β，都存在a在f下的像ξ大于β。所以，f反映的是k是否可以通过长度为a的序列从下面抵达k。显然，cf(k)≤k。如果cf(k)＜k，就称k是奇异基数；如果cf(k)=k，就称k为正则基数。
例如：对于任意自然数n，令f(n)=?n，则f:w→?w是共尾映射，所以?w是一个奇异基数。相反，?1是一个正则基数，毕竟可数个可数集的并仍是可数的。事实上，我们可以证明所有后继基数都是正则的，故而，所有奇异基数都是极限基数。反过来，在极限基数中我们只知道w是正则的。那自然的问题就是：“是否存在不可数的正则极限基数？”而“存在不可数的正则极限基数。”这也就是断言不可达基数存在的公理了。
阿列夫1大于阿列夫0涉及等价类之类的复杂概念就算了，还是以简单的贝斯数举例了。倘若f:N→p(N)是双射，则我们都可以问n是否属于它在f下的像。自然地，存在n属于f(n)的情况，也存在n不属于f(n)的情况。显然，所有属于后者情况的n构成的一个集合S也是N的一个子集。因为f是双射，所以有一个n在f下的像是S。那么，对于这个n，我们也可以提问，n是否属于S？