2. Vˉ 表示宇宙全体集合容器V
在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：
1.?b,b∈a,ψ(bˉ)??x∈aˉ,ψ(x)
2.?a,b∈V,ψ(aˉ)??x∈Vˉ,ψ(x)
作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号 aˉ 和表示V本身的常元符号 Vˉ ，而且还有一个常元符号 wˉ 来表示V的 \外模型\。
类似于力迫法的发明路程，一个同时接受柏拉图主义和高度完成主义的人也会遇到类似的问题。
我们增加以下新公理。
1. 宇宙V是ZFc（或至少是Kp，可接受性理论）的一个模型。
2. wˉ 是ZFc的一个传递模型，包含 Vˉ 作为子集，并且与V有相同的序数。
因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFc（或至少是Kp）的宇宙，其中 Vˉ 被正确地解释为V， wˉ 被解释为V的外模型。请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的，实际上它是在 V+=La(V) 内定义的。由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。
最终我们可以用V-逻辑将Imh转写为以下形式：
·假设p是一个一阶句子，上述理论连同公理“ wˉ 满足p”在V-逻辑中是一致的。那么p在V的一个内模型中成立。
最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在 V+ 中定义使得满足宽度潜在主义。
在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。
最终，我们结合Imh和#-生成，便得到了满足激进潜在主义的宽度\/高度最大化的形式系统。当然，理论上还能更进一步的增强这些公理。在这里将这些公理命名为h公理，它们展现了玄宇宙 h的最大化性质。
强内模型假设(SImh, Strong Imh)：
·SImh(w1) ：带有一个绝对参数的句子如果在尊重这些参数的外模型中成立，那么在某个V可定义的内模型中也成立。
该公理同样可以使用pd获得一致性证明。
全知(omniscient)：
塔斯基真不可定义也可以改写成以下的定理：
在V中成立的带参数句子的集合在V中是不可被一阶定义的。
但V的外模型理论，omt(V)，是可以通过V-逻辑被 V+ 定义的。甚至于存在许多V，omt(V)是在V上是一阶可定义的。这样的V被称之为全知。
拉姆齐基数可以给出“ Vk[G] 是全知的模型”的一致性。“V是全知的”和#-生成之间配合得相当好。
玄宇宙计划的可能推论（未被证明一致）：
弱#-生成：
·预-#是一个结构(N, U)，其中U在最大基数k上测度了N的子集，并且对于任意序数a，(N, U)的a步超幂迭代依旧是良基的。
·如果对于超过V的高度的每一个序数a，表达存在一个生成V的a-可迭代的预-#的理论 ta 是一致的，那么V就是弱#-生成的。
双参数强内模型假设 SImh(w1,w2)：
·带有两个绝对参数的句子如果在尊重这些参数的外模型中成立，那么在某个V可定义的内模型中也成立。
这个公理直接给出连续统的否定。
基数绝对性：
·设p是V中的一个参数，p是V中的参数集。
将p称之为对p强绝对的，如果存在带有参数集p的在V上定义的公式 ψ ，在V的所有#-生成的外模型上的基数都保持，包括 ψ 中提到的参数的遗传基数。
definition 16. Let p be a parameter in V and p a set of parameters in V . then p is strongly absolute relative to p if there is a formula ? with parameters from p that defines p in V and all #-generated outer models of V which preserve cardinals up to and including the hereditary cardinality of the parameters mentioned in ?.
基数最大化 cardmax(k+)：
·k是无限基数。如果序数 a 对 k 的子集是强绝对的，那么 a 的基数最多为 k .
可以证明，如果k是正则基数，那么就有一个集合力迫，其中 cardmax(k+) 成立。但对于任意基数则尚不明确。
m-基数越轨(m-cardinal Violation)：
存在一个内模型m，对于一切基数 k ， k+ 大于m的 k+ 。
hod-基数越轨是一致的。 k+ 在hod中是不可达的基数越轨还不能清楚是否一致。
基数绝对参数强内模型假设：
SImh(cp),cpSImh
·带有一个基数绝对参数的句子如果在基数绝对外模型中成立，那么在某个V可定义的内模型中也成立。
宽度反射原理(wR, width Reflection)：
我们可以仿照#-生成的成功来开发“宽度不可辨认性”。
j是可调和的，如果 j?(Vβ)V0 对于 ?β:ordinal,β∈V
对于任意序数a，存在非平凡初等嵌入，
j:V0→V，crit(j)＜a 并且j是可调和的
wR相对于拉姆齐基数的存在性是一致的。wR可以轻易的拓展到任意有限链 V0＜V1＜...＜Vn ，但要实现无限链是困难的。要实现宽度不可辨认性，我们希望链长度达到ord+1.
——————————
【总结陈词】
带有*的理论可以证明ch不成立。
玄宇宙计划是目前依旧活跃的关于集合论哲学的研究计划。通过允许“ord + 1”之类的对象在理论中被使用，简单粗暴的解决了高度潜在主义者的需求。而类-Imh公理所提供的外模型～性质内模型化也解决了宽度潜在主义者的需求。宽度完成主义虽然更易被理解，但更难被一致地刻画出来。最后，本论文探讨了基数最大化的候选公理，以及在脱离hod猜想的真值下将类-Imh公理一阶化的可能性（omniscient）。
【举一反三】
虽然笔记作者并不是很接受这系列论文集合论哲学说书，但是毫无疑问的基数最大化和宽度最大化本身是很有研究意义的；Imh本身也非常有趣。
值得注意的是，玄宇宙计划的主要纲领和类型论哲学是可以产生对应的：
·数学实践的丰富性：构造主义类型论需要死守canonicity，似乎注定了不会过于丰富。但即使不考虑harvey Friedman's grand conjecture这种东西，“所有证明的规约都必须有一个绝对的有穷长度的停机的结果”似乎是一个对于所有数学家显然和必然的要求。
·数学实践的基础需求：如前所注，类型论可通达范畴论进而通达布尔巴基，也可通达一切可计算数学，一切数学的证明自动检验（形式化）和整个计算机科学，构造主义类型论在基础需求上完胜。
·数学的真理论，和数学的最大化：对于真理论，构造主义类型论自然还是完胜。类型论哲学不关心最大化，但我们可以进一步的讨论。
1.（独立性）一个典范的类型论应该是一个对 Σ21uΠ21 句子绝对，或者至多 Σ21(R)uΠ21(R) 句子绝对的canonicity理论
这个很容易理解，如果有一个对 Σ31 句子绝对的canonicity理论，就意味着存在一个自然数理论下的可计算函数，给出了一个 Σ31 句子的证明，同时又存在另一个自然数理论下的可计算函数，给出了这个 Σ31 句子的否证，这相当于给出了无限多个不等价的自然数理论，这是非常魔怔的（虽然从超幂这种非标准自然数理论来看很正常）。
之所以可以将 Σ21(a)uΠ21(a) 的 a 设定为实数集是因为可计算分析用的就是实数集；可计算超实数分析学不可能位于 p(R) 而至多只能是 R→R 上的可计算函数的可计算函数。
2.（最大性）一个典范的类型论应该包括所有canonicity的反射原理
综合以上全部：一个典范的类型论，应该是一个V=L或者L(R)的canonicity片段，并且包括V=L或者L(R)所容许的全部反射原理。或许还能有些许提升，但决不能超过0#：人类目前已知的绝大多数超图灵机，想要在0#之上多走一步都是没有希望的。
这意味着Imh#，SImh#， SImh?(w1,w2) 的canonicity片段很有可能就是我们想要的候选者。
如果不考虑死守canonicity，那么Lean也就是高配的morse–Kelley set theory，我除了范畴论还没见过哪一个数学细分领域声称自己mK集合论不够用的，因此和集合论哲学上的结论也不会有区别。
参考
1.^ab[Sd Friedman, 2018] Explaining maximality through the hyperuniverse programme
2. ^这里说的就是woodin的终极-L
3. ^abc[寇亮，2020] 反映原理作为大基数内在辩护的不可行性
4. ^[杨睿之, 2016] 作为哲学的数理逻辑, p124
5. ^[Sd Friedman, 2018] on the consistency strength of the inner model hypothesis
｛pS：玄宇宙V逻辑多元也被包含在绝对无穷当中，而绝对无穷包含了一切数学、哲学和悖论，包含了一切无限，一切大基数、数学公理和集合论宇宙也被绝对无穷所包含，就连错误与正确的数学也一起包含了，所以一切错误的公式和正确的公式都在绝对无穷概念中成立。数学上的无限无论如何继续构造，也都被包含在绝对无穷概念当中。绝对无穷是最大的无穷，而比绝对无穷更大的无穷已经不能够被构造，只能用名词流表现出，因此绝对无穷是真正绝对最大的量级。（准确来说已经不是量级了，而是真正的概念，已经超越了量级和盒子）｝