小平邦彦说：“我们完全可以构造这么一个空间，我们要直面无穷远点，换句话说，只要到达无穷远点，就可以看到两个平行线交于一点。”
高木贞治说：“这只是在语言上有流畅性一样，是个文字游戏，你不能如此草率的对待无穷的问题。”
小平邦彦说：“你只能说我们达不到，但是这个概念出现之后，对欧几里得空间这些一点都没有影响，而且很多问题得到简化，就会变得简单。”
高木贞治说：“可是你说一个坐标系中的无穷远，都能合成一个点，你凭什么这么说，这比平行线相交还要荒谬。”
小平邦彦说：“这不荒谬，这就是坐标的变换，你不要认为正无穷大和负无穷大离的距离很远，就觉得他们水火不容，他们其实可以在一起。”
高木贞治说：“等等，怎么能在一起？”
小平邦彦说：“你知道世界地图吧？”
高木贞治说：“我知道呀！”
小平邦彦说：“你知道世界地图和地球仪吧。世界地图其实不能弄成什么形状，都不会想地球仪上面那个地方一样统一，因为是投射成这样的，俄罗斯和南极洲明显变大了很多，实际上没有那么大，而且我们如果使用其他的方法投射，世界地图的变形将会难以想象。”
小平邦彦描述出一个图景，把投影灯放在地球仪不同位置，就会在一个平面上透出各种扭曲，但是还能保留信息的各种扭曲的地图。把投影仪放在北极向下照射地球仪，发现了南北极在一个点上，而把投影灯放在地球仪内部中心，南北极就在无穷远的两个点上。
高木贞治说：“你的意思是，投射灯只要变换位置，南极和北极可以在一个点上，也可以分别在无穷远，依此说明坐标系上的正无穷和负无穷也可以粘在一起？”
小平邦彦点点头说：“没错，而投影灯的移动，就是坐标系的一种变换。”
高木贞治说：“你要这样说，我就明白了。”
小平邦彦说：“然后，我只要研究一下投影灯、地球仪和平面的相对位置，我就可以知道坐标变换成什么样子了。相当于是，我要了解变换的坐标上的相对于原来的弯曲程度是多大就可以了。”