高木贞治说：“不完全对，即使世界上任何一个东西都是由一个简单的元交换出来的，但是这个交换过程极其繁琐，是一大堆的逻辑符号，就算用范畴论的语言都需要写好几页呢。”
小平邦彦无语：“那还不如非交换呢，把非交换弄简单点，不也可以操作嘛！”
阿贝尔感觉到，关于数论中同余的问题，往往就会关联有限群。
这是不可避免的。
只要以规范，就会让其得到大面积惊人的使用。
比如二律互反等一类的数论问题，在有限域这种地方也能用得着。
那么近下来，让大家接受有限数域，就是最终于的问题了。
对于此，阿贝尔扩张就是关于这个问题的研究的，同时后人有循环扩张、分圆扩张及库默尔扩张。
对于分圆扩张，克罗内克发展了克罗内克的青春梦。
而高木贞治，解决了克罗内克青春梦猜想。
类域论就是研究怎样用k的元素来描述k的所有阿贝尔扩张的问题。
1920年日本数学家高木贞治完成了类域论的最早突破：对于每个扩张K，都对应k中的一个对象t（K），即k的理想类群在某一等价关系之下的一个等价类。
高木描述了这些t(K)的集合，而且每一个t（K）都刻划k的唯一的阿贝尔扩张K，并且K的代数及算术性质可由t(K)直接推出。
对这个漂亮的定理，高木给出的证明非常繁复，中间还要用到解析的方法，但其中起主要作用的是定义狄利克雷L级数。
之前几百年，高斯发现了二次互反律的多种证明。
1920年，高木贞治发展了关于数域的阿贝尔扩张理论，和类域论。
后来阿廷发现了阿廷互反律。
从中发现了在数论、群论和代数几何之间的相互联系。
同余代数，对于椭圆曲线与模形式。
而模形式对应艾森斯坦级数。
所以二律互反对于级数，一般级数使用狄利克雷的L级数来表示的。
阿廷就发现了这个东西，后来推广到阿廷互反律。